LUGARES GEOMÉTRICOS EN EL PLANO: Es el conjunto de puntos de plano que verifican una determinada propiedad. Si expresamos algebraicamente dicha propiedad obtenemos la ecuación del lugar geométrico.
MEDIATRIZ de un segmento de extremos A y B: Es el conjunto de puntos del plano que están a igual distancia de A y B. Este lugar geométrico es la recta perpendicular al citado segmento por su punto medio.
Analíticamente, si A(a, b) y B(c, d), la ecuación de la mediatriz viene dada por:
(d - b)x - (c - a)y - ad + bc = 0
CIRCUNCENTRO
Las mediatrices de los tres lados de un triángulo cualquiera se cortan en un mismo punto denominado circuncentro del triángulo porque es el centro de la circunferencia circunscrita (está a igual distancia de los tres vértices del triángulo)
En el caso de un triángulo rectángulo, la hipotenusa coincide con un diámetro de la circunferencia circunscrita y, por tanto, el circuncentro es su punto medio. Si el triángulo es obstusángulo, el circuncentro es exterior al mismo.
BISECTRIZ del ángulo determinado por dos rectas que se cortan: Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los lados del ángulo. Es una recta que divide al ángulo en dos ángulos iguales.
Si uno de los lados del ángulo está determinado por la recta Ax + By + C = 0 y el otro lado por A'x + B'y + C' = 0, entonces, la ecuación de la bisectriz se obtiene imponiendo la condición que la define como lugar geométrico, es decir, como el conjunto de puntos que está a igual distancia de estas dos rectas. Por tanto: 
INCENTRO
Las bisectrices de los tres ángulos de un triángulo se cortan en un mismo punto denominado incentro porque es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo (está a igual distancia de los tres lados)
Evidentemente, el incentro de un triángulo siempre es interior al mismo.
Téngase en cuenta que dadas dos rectas que se cortan, existen dos bisectrices de los ángulos formados:
CÓNICAS
Se llama así a la familia de curvas que se obtiene como intersección de un cono (de doble hoja) con un plano. Basándose en determinadas propiedades de dichas curvas (teorema de Dandelin) pueden definirse también como lugares geométricos.
CIRCUNFERENCIA es el lugar geométrico de los puntos del plano que están a igual distancia (radio)
de uno dado al que llamamos centro. Expresado esto analíticamente, si el centro es K(a, b) y que el radio es r, tendremos: (x - a)² + (y - b)² = r², que, desarrollado, toma la apariencia: x² + y² + Ax + By + C = 0, siendo el centro 
y el radio 
POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO DE UNA CIRCUNFERENCIA
Dado un punto cualquiera P y una circunferencia c, se traza una recta que pasa por P y corta a la circunferencia en dos puntos M y N. Se verifica que el producto de las distancias PM y PN toma siempre el mismo valor, sea cual sea la posición de la recta. Por tanto, tiene sentido definir la potencia de un punto respecto de una circunferencia como el resultado de este producto: k = |PM|·|PN|
Si la distancia entre el punto y el centro de la circunferencia es d, y el radio r, la potencia es:
Esta expresión nos permite observar fácilmente que:
k = 0 ↔ P está en la circunferencia
k > 0 ↔ P es exterior a la circunferencia
En el applet puedes comprobar que moviendo N el valor de la potencia no cambia. Pero sí lo hace si desplazas P.
ELIPSE es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a otros dos puntos F y F',
llamados focos, es constante. Se puede obtener la ecuación reducida de la elipse suponiendo los focos situados en el eje de abscisas y simétricamente respecto del origen de coordenadas. Así, si F(c, 0) y
F'(-c, 0) y llamamos 2a a la suma constante, se tiene: 
. Desarrollando esta expresión y llamando b² = a² - c², se tiene la ecuación reducida de la elipse: 
, donde a y b son los semiejes y c es la semidistancia focal. Puede verse que la
circunferencia es un caso particular de la elipse en que a = b = r
ALGUNAS CURIIOSIDADES
Apolonio de Perga (262 ? - 190 ? a. C.) introdujo las definiciones de elipse, hipérbola y parábola en su obra "Secciones cónicas". Sus conclusiones pasaron siglos un tanto olvidadas hasta que a Johannes Kepler (1571 - 1630) se le ocurrió que las trayectorias de los planetas alrededor del Sol son elípticas.
Hay túneles de metro cuya sección tiene forma elíptica, de manera que los focos están situados en los andenes. Por la propiedad que cumplen todos los puntos de la elipse, una persona situada en uno de los andenes, puede escuchar perfectamente la conversación de otras que están en el andén opuesto.
Las elipses... ¡están por todas partes!
HIPÉRBOLA es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a otros dos puntos F y F', llamados focos, es constante. Se puede obtener la ecuación reducida de la hipérbola suponiendo los focos situados en el eje de abscisas y simétricamente respecto del origen de coordenadas. Así, si F(c, 0) y F'(-c, 0) y llamamos 2a a la diferencia constante, se tiene: 
. Desarrollando esta expresión y llamando b² = c² - a², se tiene la ecuación reducida de la hipérbola: 
, donde a y b son
los semiejes y c es la semidistancia focal. En el caso en que a = b se denomina hipérbola equilátera
Las rectas y = bx/a, y = -bx/a se denominan asíntotas de la hipérbola.
EXCENTRICIDAD
La excentricidad de una cónica reducida viene dada por el cociente e = c/a.
En el caso de la elipse, como c < a, e < 1 [en el caso particular de la circunferencia a = b. lo que significa que c = 0 y por tanto e = 0].
En la hipérbola, como c > a, e > 1.
La trayectoria de algunos cometas es una hipérbola con uno de sus focos en el Sol, de manera que solo se aproxima a éste una única vez para luego alejarse indefinidamente y perderse en los confines del universo.
El sistema de navegación LORAN (LOng RAnge Navigation) está basado en las propiedades de la hipérbola: manteniendo constante la diferencia de tiempos de recepción de las señales desde dos radiofaros, un barco seguiría una trayectoria hiperbélica, uno de cuyos vértices estaría en la recta que une los dos faros.
PARÁBOLA es el lugar geométrico de los puntos del plano cuyas distancias a un punto F (foco) y a una recta d (directriz) son iguales. Se puede obtener la
ecuación reducida de la parábola suponiendo el foco F(p/2, 0) situado en el eje de abscisas y como directriz la recta x = -p/2. Entonces, expresando algebraicamente la igualdad de estas distancias, se tiene: 
. Desarrollando esta expresión y simplificando, obtenemos la ecuación reducida de la parábola: y² = 2px
PARÁBOLAS A LA VISTA
Si un móvil está afectado por una componente horizontal y otra vertical en su movimiento, es decir, sube o baja al mismo tiempo que avanza o retrocede, su trayectoria es una parabola.
Así ocurre en los juegos de pelota (baloncesto, fútbol, golf, ...) y en balística.
